Дуальні системи

Далі розглядаються одновимірні ґратки, частинки, їх утворюючі, взаємодіють лише із найближчими сусідами. Системи $A$ та $B$ є дуальними, якщо $B$ отримується з $A$ заміщенням частинок на пружини й пружин на частинки за відповідними правилами.

Позначмо через $m$ масу кожної частинки, через $y_{n}$ - зміщення $n$ -ї частинки й через $\phi (y_{n+1}-y_{n})$ — потенціал взаємодії між сусідніми частинками (потенційну енергію пружин). Тоді рівня руху буде мати вигляд:

$md^{2}y_{n}/dt^{2}=\phi '(y_{n+1}-y_{n})-\phi '(y_{n}-y_{n-1})\quad (n={\overline {...,-1,0,1,\,...}}),$

де $\phi '$ - похідна $\phi .$

Гамільтоніан

$H={\frac {1}{2m}}\sum _{n}p_{n}^{2}+\sum _{n}\phi (r_{n}),$

де імпульс $p_{n}$ отримується з кінетичної енергії

$K={\frac {1}{2}}\sum _{n}m{\dot {y}}_{n}^{2}$

диференціюванням $K$ по швидкості ${\dot {y}}_{n}$ :

$p_{n}={\frac {\partial K}{\partial {\dot {y}}_{n}}}=m{\dot {y}}_{n}.$

В якості узагальненої координати розгляньмо взаємне зміщення. Уявімо, що крайня ліва частинка $n=0$ є закріпленою. Тоді

${\begin{matrix}y_{0}=0,\quad y_{1}=r_{0},\quad y_{2}=r_{0}+r_{1},...,\\{\dot {y}}_{0}=0,\quad {\dot {y}}_{1}={\dot {r}}_{0},\quad {\dot {y}}_{2}={\dot {r}}_{0}+{\dot {r}}_{1},...\end{matrix}}$

та для ґратки з $N$ рухомими частинками

$K={\frac {1}{2}}\sum _{n=1}^{N-1}m({\dot {r}}_{0}+{\dot {r}}_{1}+...+{\dot {r}}_{n})^{2}.$

Імпульс ${\textstyle I_{n}}$ , спряжений $r_{n}$ , визначається співвідношенням

$I_{n}={\frac {\partial K}{\partial r_{n}}}=m[({\dot {r}}_{0}+{\dot {r}}_{1}+...+{\dot {r}}_{n})+({\dot {r}}_{0}+{\dot {r}}_{1}+...+{\dot {r}}_{n+1})+...+({\dot {r}}_{0}+{\dot {r}}_{1}+...+{\dot {r}}_{N-1})]$ Таким чином,